Bất đẳng thức cosi được sử dụng rất nhiều trong các đề thi đại học và cao đẳng. Do đó, bạn cần nắm vững công thức bất đẳng thức cosi, cách chứng minh bất đẳng thức cosi. Ngoài ra, bạn cần phải có khả năng giải quyết các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức cosi. Bài viết hôm nay của avatelecom.vn sẽ giúp mọi người củng cố lại kiến thức về bất đẳng thức này.
Mục lục
Khái niệm bất đẳng thức cosi
Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm, được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Và trung bình cộng bằng trung bình nhân chỉ khi và chỉ khi n số bằng nhau.
Đối với n số thực không âm
Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ khi:
Bất đẳng thức cosic cho 2 số không âm
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức cosic cho 3 số không âm
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bất đẳng thức cosic cho 4 số không âm
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
Chứng minh bất đẳng thức cosi
Chứng minh bất đẳng thức Côsi với 2 số thực không âm a và b
Ta thấy rằng với a = 0 hoặc b = 0, bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Côsi với 2 số dương mà thôi.
- Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b (đpcm) dương
Chứng minh bất đẳng thức côsin với 3 số thực không âm a, b, c
Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0, bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ chứng minh được bất đẳng thức cosi cho 3 số dương.
Đặt: 
Có nguồn gốc từ: 
Có nguồn gốc từ: 
Sự bất bình đẳng được giảm xuống:
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương với a = b = c.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi với 4 số thực không âm a, b, c, d
Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0, bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức côsin cho 4 số dương.
Thay thế: 
- Ta nhận được bất đẳng thức cosi cho 3 số dương.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm
Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho n số dương
n = 2 thì bất đẳng thức đúng.
Nếu bất đẳng thức áp dụng cho n số thì bất đẳng thức cũng áp dụng cho 2n số.
Chúng tôi có thể chứng minh điều đó đơn giản bởi vì:
Bằng quy nạp, bất đẳng thức đúng với n là lũy thừa của 2.
Mặt khác, giả sử bất đẳng thức đúng với n số, ta cũng có thể chứng minh điều đó đúng với n – 1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi cho n số:
Chọn: 
Đây là bất đẳng thức số cosi (n-1). Như vậy ta có đpcm.
Các quy tắc chung để chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức cosi
- Quy tắc song song: hầu hết các bất đẳng thức đều có tính chất đối xứng nên việc sử dụng các phép chứng minh song song sẽ giúp bạn dễ hình dung kết quả hơn, cũng như hướng dẫn giải nhanh hơn.
- Quy tắc bình đẳng: Dấu “=” trong bất đẳng thức rất quan trọng. Nó giúp chúng tôi kiểm tra tính đúng đắn của bằng chứng. Nó hướng dẫn chúng ta phương pháp giải, dựa trên điểm rơi của bất đẳng thức. Vì vậy, bạn phải tập cho mình thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu “=”.
- Quy tắc về sự đồng thời của các dấu bằng: Một nguyên tắc khi áp dụng bất đẳng thức song song là điểm rơi phải xảy ra đồng thời, tức là phải dùng các dấu “=” để thỏa mãn một điều kiện của biến.
- Quy tắc ranh giới: cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán lập trình tuyến tính, các bài toán tối ưu hóa, các bài toán cực trị với các điều kiện ràng buộc, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Chúng ta biết rằng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thường xảy ra tại các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên
- Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức thường có tính chất đối xứng nên vai trò của các biến trong BĐT là như nhau, do đó dấu “=” thường xảy ra ở cùng một nơi mà các biến bằng nhau. Nếu bài toán có hệ điều kiện đối xứng, ta có thể chỉ ra rằng dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và có giá trị cụ thể. Hướng của BDT: “≥”, “≤” cũng sẽ giúp chúng ta định hướng chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại.
Lời kết
Như vậy, trên đây là những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi mà avatelecom.vn đã chia sẻ với bạn. Mong rằng những kiến thức này sẽ giúp ích được phần nào cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc may mắn!
